Банкрол - сколько нужно денег

На самом деле люди, задающие вопрос о требуемом банкроле часто не знают, плюсовые они игроки или минусовые, и просто хотят узнать, сколько денег им должно хватить для игры в течение ограниченного количества времени: сессии, выходных в казино, отпуска и т.д. Это тоже можно называть банкролом, хотя обычно под этим термином понимается сумма, необходимая для игры на длинной дистанции. Точно также можно говорить о «месячном банкроле» - это сумма денег, которой будет достаточно, чтобы играть в течение месяца.

Основная концепция в азартных играх - неопределённость результатов. Иногда вы выигрываете, иногда - проигрываете. Если бы не было неопределённости на короткой дистанции, то вопрос банрола решался бы просто. Плюсовому игроку не пришлось бы волноваться о возможности проигрыша, а минусовой игрок точно мог бы посчитать, на сколько ему хватит денег. Однако, мы все знаем, что результаты в покере очень сильно разбросаны. Плюсовой игрок может быть в минусе на протяжении часа, дня, месяца и даже года. А минусовой игрок может оказаться в выигрыше на такой же дистанции. В целом чем больше дисперсия, тем выше вероятность банкротства, тем больше нужен банкрол. Хотя это не всегда верно, иногда вместе с дисперсией растёт и винрейт, уменьшая риск. Например, наличие маньяка за столом серьёзно увеличивает дисперсию, но за счёт увеличения МО риск банкротства будет ниже.

Практически общим местом при ответе на вопрос о банкроле является предположение о том, что игрок - плюсовой. Удивительно, насколько часто на этот вопрос отвечают, подразумевая, что спрашивающий - профессионал, стабильно имеющий свою 1 большую ставку в час, хотя подобный игрок вряд ли вообще будет задавать такой вопрос. Понятно, что для минусового игрока вопрос банкрола имеет специфический ответ, но даже для плюсового игрока ответ будет очень сильно зависеть от винрейта. У игрока с МО 0,1 БС/час риск банкротства будет гораздо выше, чем у игрока с МО 1,5 БС/час. Если игрок проигрывал 0,1 БС/час, а после коррекции игры стал выигрывать те же 0,1 БС/час, ему все равно понадобится огромный банкрол, чтобы не обанкротится. Переход из минуса в плюс не избавит вас от возможности крупно проиграться. А если вы минусовой игрок, вам придётся постоянно пополнять банкрол из других источников, вряд ли приходится говорить об определённом банкроле на длинной дистанции. Здесь скорее стоит думать о месячном банкроле, скажем, до следующей зарплаты. В этом случае есть возможность уменьшать банкрол. Во-первых, очевидно, что для периода в месяц денег нужно меньше, чем на год. Во-вторых, если возможность добавить денег, то вам не так критично потерять все. Если покер - единственный источник дохода, то вы бы хотели играть с вероятностью банкротства не выше, скажем, 1%, но если вы сможете пополнить банкрол с зарплаты, то банкротство лишь оставит вас без покера на несколько дней, что далеко не смертельно, а значит риск банкротства может быть выше.

Переход лимитом выше также влияет на ваш банкрол, даже если переходите только убедившись, что играете в плюс. И хотя логика в таком переходе есть, он определённо повышает ваш риск. Общая мысль тут такая - рискуйте тогда, когда можете себе это позволить. Простое средство, чтобы избавиться от негативных эффектов при повышении лимита - переоценка риска банкротства с учётом пессимистических предположений о вашем винрейте и дисперсии. На самом деле вообще полезно время от времени пересматривать риск банкротства, корректируя соответствующим образом выбор игр. Если ваша основная цель - остаться в игре, то уменьшение лимита позволит вам значительно уменьшить риск банкротства. Например, у вас есть месячный банкрол, но уже в первых трёх сессиях вы прилично проигрались, а значит риск банкротства значительно увеличился. Это не значит, что ваши вычисления были неправильны, это может означать, что вы попали в те 5% неудачных игр. Если вы не хотите остаться без денег, имеет смысл опуститься лимитом ниже. У этого решения есть несколько положительных моментов: низкие лимиты обычно легче бить, плюс риск банкротства уменьшается пропорционально изменению лимита.

Математика банкрола и дисперсии

Теперь перейдём к математической оценке банкрола. Ниже вы увидите несколько формул, которые позволят оценить вам возможные колебания в игре, а также нужный банкрол. Нам понадобится несколько параметров, которые можно взять из Покер Трекера: математическое ожидание (МО, в формулах обозначается как m) результата игры оценивает винрейт (в основной таблице закладки General Info смотрим столбец BB/100 hands). Дисперсию удобнее рассматривать через показатель среднеквадратичного отклонения (СКО, в формулах обозначается как σ), которое находится как квадратный корень из дисперсии (на закладке Session Notes жмем кнопку More Details… и берем Standard Deviation/100 Hands, выраженный в больших ставках). Что нам даёт знание наших МО и СКО? Довольно много, зная их, можно оценить с нужной степенью вероятности возможные границы колебаний результатов игры.

Но сначала несколько дополнительных комментариев. Пользоваться расчетными данными МО и СКО можно только при большом количестве сдач. Дело в том, что формулы нормального распределения можно использовать лишь при точно известных m и σ, а когда они находятся расчетным путем, то правильнее использовать функцию распределения Стьюдента. Но при увеличении количества опытов (в нашем случае – сыгранных игр) распределение Стьюдента опять же приближается к нормальному. При более чем 10.000 сдач разницы уже практически нет, а, например, при 1.000 сдач распределение Стьюдента будет «шире» (то есть дисперснее) на 23%. Во-вторых, для анализа рекомендуется использовать результаты, полученные на одном лимите, на одной длине стола и даже в одном руме. Дело в том, что с ростом по лимитам обычно винрейт падает, а дисперсия может как падать, так и увеличиваться, короткие столы обычно более дисперсионны, а в разных румах сила противников может серьёзно различаться, что опять же отразится на параметрах. Поэтому перед тем как объединять для анализа сдачи из разных мест, убедитесь, что отдельные МО и СКО близки. Если это не так, то вы просто получите в результате «среднюю температуру по больнице». В-третьих, все наши вычисления мы делаем по формулам теорвера и матстата, соответственно, все полученные результаты – не истина в последней инстанции, а лишь в большей или меньшей степени вероятны. Эту самую степень вероятности мы должны задать сами. Понятно, что чем дальше мы уходим в любую сторону от матожидания, тем менее вероятны будут результаты, есть коэффициент, связывающий отклонение и вероятность события. Вероятно, вы слышали о «правиле трёх сигм» – вероятность того, что результаты выйдут за границу 3*σ настолько малы, что ими можно пренебречь. На самом деле, в границах трёх сигм лежат 99,7% возможных результатов, если вы хотите быть более уверенными в результатах – следует увеличивать коэффициент, если 100% уверенность не нужна, то его можно уменьшить. Найти соответствие между диапазоном вероятностей и коэффициентом можно либо по таблицам Лапласа, либо про помощи функции Excel (далее формулы сразу же будут писаться в формате Экселя): требуемый коэффициент = НОРМСТОБР(вероятность/2+0,5). Например, мы хотим определить диапазон наших результатов с вероятностью 90%, считаем формулу НОРМСТОБР(0,9/2+0,5)=1,645. А если хотим быть уверены на 99,9% (то есть отбрасываем лишь 1 шанс из 1000), то получаем коэффициент НОРМСТОБР(0,999/2+0,5)=3,29. Найденные таким образом коэффициенты (обозначим их для удобства k) мы будем использовать в дальнейшем.

Ну а теперь, собственно, о том, что и как мы можем посчитать (данные ниже расчеты сделаны в больших ставках, не забудьте домножить на величину большой ставки, чтобы получить результаты в деньгах):

• В каком диапазоне могут лежать денежные результаты вашей игры. Исходя из формулы нормального закона, распределения получаем, что за N сдач мы ожидаем в среднем выиграть N/100*m, при этом колебания от ожидания могут составить ±k*σ*КОРЕНЬ(N/100). Как вы видите, число сдач нам приходится делить на 100, так как и МО и СКО посчитаны на сто сдач. Результаты этих подсчётов можно интерпретировать следующим образом: вы ожидаете в среднем выиграть одну сумму, но дисперсия может значительно увеличить или уменьшить ваш выигрыш и даже превратить его в проигрыш.
• Полученные в пункте 1 результаты по возможным колебаниям результатов можно рассматривать и другим образом – возможно, в настоящий момент вы находитесь не в центре распределения, а благодаря удаче или неудаче, ваши практические результаты отличаются от реального матожидания (того, которое будет на большей дистанции). То есть ваше МО не то, что посчитал Трекер, а больше или меньше. Вы можете посчитать диапазон ваших возможных МО, поделив результаты пункта 1 на N/100. Его нижняя граница будет равна m-k*σ/КОРЕНЬ(N)*10 (проведены сокращения с N/100), а верхняя, соответственно, m+k*σ/КОРЕНЬ(N)*10.
• В принципе в пункте 1 дана функция, по которой можно определить максимально возможный проигрыш. МО и СКО у нас зафиксированы, а вот количество сдач меняется. Можете построить график функции N/100*m-k*σ*КОРЕНЬ(N/100) от N и увидеть её минимум, а можно этот минимум найти, для чего находим производную функции и приравниваем её к нулю. В результате получим, что максимальный проигрыш у нас будет при N=СТЕПЕНЬ(k*σ/2/m,2)*100, подставив полученное N в формулу нашей функции, получим уже собственно саму величину проигрыша. Соответственно, если игрок не желает обанкротится, он должен иметь на счету сумму не меньше получившейся при расчете.

Давайте немного попрактикуемся, сделаем несколько расчетов. Возьмём цифры, которые на практике встречаются у плюсовых игроков в покер и посмотрим, какие у них возможны колебания. Итак, неплохой игрок в лимитный холдем способен иметь МО порядка +2 ВВ/100 на средних лимитах (возьмём для примера невысокие $1/$2), при этом СКО на длинном столе составит порядка 15. Рассмотрим дистанцию в 20.000 сдач. Нас будут интересовать результаты с вероятностью 99%, в этом случае k=НОРМСТОБР(0,99/2+0,5)=2,576.

Ожидаемый выигрыш составит 2*$2*20000/100=$800, при этом возможные границы колебаний составят нижняя $800-2,576*15*КОРЕНЬ(20000/100)*$2=-$293, а верхняя $800+2,576*15*КОРЕНЬ(20000/100)*$2=$1893. Соответственно, если у игрока нет другого опыта, кроме этих 20.000 сдач, мы можем предположить, что его МО с вероятностью 1% может быть ниже -0,73 (=-$293/200/$2) или выше 4,73 (=$1893/200/$2). Длина максимального проигрышного стрика (англ. streak – полоса) для игрока может составить до СТЕПЕНЬ(2,576*15/2/2,2)*100=9332 сдач, при этом денежный проигрыш может составить до 2*$2*9332/100-2,576*15*КОРЕНЬ(9332/100)*$2=-$373. То есть игроку требуется порядка 200 БС, чтобы оградить себя от банкротства на короткой дистанции порядка 10.000 сдач.

Чтобы самому не вводить все эти формулы, предлагаю вашему вниманию готовую табличку Эксел (я не являюсь её автором, но формулы проверял и немного модифицировал).

Автор: Корешков Юрий по мотивам статьи Daniela Kimberga, и поста Peter_rus